関数 $S = 2\sin\theta(1 - \cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $S = 2\sin\theta(1 - \cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

$S = 2\sin\theta(1 - \cos\theta)$ を展開します。

$S = 2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta$

$S$を$\theta$で微分します。積の微分公式を使う必要がある部分があります。

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (2\sin\theta) - \frac{d}{d\theta}(2\sin\theta\cos\theta)$

$\frac{d}{d\theta}(2\sin\theta) = 2\cos\theta$

$\frac{d}{d\theta}(2\sin\theta\cos\theta) = 2(\cos\theta\cos\theta + \sin\theta(-\sin\theta)) = 2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 2\cos2\theta$

したがって、

$\frac{dS}{d\theta} = 2\cos\theta - 2\cos2\theta$

三角関数の2倍角の公式を使って式を整理します。

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1$

$\frac{dS}{d\theta} = 2\cos\theta - 2(2\cos^2\theta - 1)$

$\frac{dS}{d\theta} = 2\cos\theta - 4\cos^2\theta + 2$

$\frac{dS}{d\theta} = -4\cos^2\theta + 2\cos\theta + 2$

3. 最終的な答え

$\frac{dS}{d\theta} = -4\cos^2\theta + 2\cos\theta + 2$