与えられた連立方程式を解く問題です。 $$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 20 \end{cases} $$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。

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\begin{cases}

x + y + z = 2 \\

x^2 + y^2 + z^2 = 14 \\

x^3 + y^3 + z^3 = 20

\end{cases}

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2. 解き方の手順

まず、基本対称式とべき乗和の関係を利用します。

$s_1 = x + y + z$, $s_2 = x^2 + y^2 + z^2$, $s_3 = x^3 + y^3 + z^3$ とします。

$p = xy + yz + zx$, $q = xyz$ とします。

$s_1 = x + y + z = 2$

$s_2 = x^2 + y^2 + z^2 = 14$

$s_3 = x^3 + y^3 + z^3 = 20$

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$ より、

$s_1^2 = s_2 + 2p$

$2^2 = 14 + 2p$

$4 = 14 + 2p$

$2p = -10$

$p = -5$

次に、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ を利用します。

$s_3 - 3q = s_1(s_2 - p)$

$20 - 3q = 2(14 - (-5))$

$20 - 3q = 2(19)$

$20 - 3q = 38$

$-3q = 18$

$q = -6$

$x, y, z$ は $t^3 - s_1 t^2 + p t - q = 0$ の解である。

$t^3 - 2t^2 - 5t - (-6) = 0$

$t^3 - 2t^2 - 5t + 6 = 0$

$(t-1)(t^2 - t - 6) = 0$

$(t-1)(t-3)(t+2) = 0$

$t = 1, 3, -2$

したがって、$x, y, z$ は $1, 3, -2$ のいずれかである。

3. 最終的な答え

$(x, y, z) = (1, 3, -2), (1, -2, 3), (3, 1, -2), (3, -2, 1), (-2, 1, 3), (-2, 3, 1)$