次の等式を証明する。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$代数学式の展開等式の証明代数2025/5/71. 問題の内容次の等式を証明する。(1) x2+1x2=(x+1x)2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x2+x21=(x+x1)2−2(2) x3+1x3=(x+1x)3−3(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})x3+x31=(x+x1)3−3(x+x1)2. 解き方の手順(1) の証明まず、右辺を展開する。(x+1x)2−2=x2+2⋅x⋅1x+(1x)2−2=x2+2+1x2−2=x2+1x2(x + \frac{1}{x})^2 - 2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 - 2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}(x+x1)2−2=x2+2⋅x⋅x1+(x1)2−2=x2+2+x21−2=x2+x21これは左辺に等しい。したがって、(1) は証明された。(2) の証明まず、右辺を展開する。(x+1x)3−3(x+1x)=x3+3x21x+3x1x2+1x3−3x−3x=x3+3x+3x+1x3−3x−3x=x3+1x3(x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = x^3 + 3x^2\frac{1}{x} + 3x\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} - 3x - \frac{3}{x} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} - 3x - \frac{3}{x} = x^3 + \frac{1}{x^3}(x+x1)3−3(x+x1)=x3+3x2x1+3xx21+x31−3x−x3=x3+3x+x3+x31−3x−x3=x3+x31これは左辺に等しい。したがって、(2) は証明された。3. 最終的な答え(1) x2+1x2=(x+1x)2−2x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x2+x21=(x+x1)2−2 は証明された。(2) x3+1x3=(x+1x)3−3(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})x3+x31=(x+x1)3−3(x+x1) は証明された。
