2つの直線 $y=5x$ と $y=\frac{2}{3}x$ が、$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\alpha$、$\beta$とするとき、$\tan(\alpha + \beta)$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $y=5x$ と $y=\frac{2}{3}x$ が、$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\alpha$、$\beta$とするとき、$\tan(\alpha + \beta)$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

直線の傾きと$\tan$の関係を利用します。直線 $y=5x$ の傾きは5なので、$\tan \alpha = 5$です。同様に、直線 $y=\frac{2}{3}x$ の傾きは$\frac{2}{3}$なので、$\tan \beta = \frac{2}{3}$です。

次に、$\tan(\alpha + \beta)$ の加法定理を利用します。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

この式に $\tan \alpha = 5$ と $\tan \beta = \frac{2}{3}$ を代入します。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{5 + \frac{2}{3}}{1 - 5 \cdot \frac{2}{3}}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{15}{3} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{10}{3}}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{17}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{10}{3}}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{17}{3}}{-\frac{7}{3}}$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{17}{3} \cdot \frac{3}{-7}$

$\tan(\alpha + \beta) = -\frac{17}{7}$

3. 最終的な答え

$\tan(\alpha + \beta) = -\frac{17}{7}$