与えられた式 $(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形に変形できるように工夫する。

まず、$1+\sqrt{3}$ を一つの塊と見て、与式を次のように変形する。

$(1+\sqrt{3} - \sqrt{2})(1+\sqrt{3} + \sqrt{2})$

ここで、$a = 1 + \sqrt{3}$、$b = \sqrt{2}$ と置くと、与式は $(a-b)(a+b)$ となる。

よって、

$(1+\sqrt{3} - \sqrt{2})(1+\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 2$

$= 4 + 2\sqrt{3} - 2$

$= 2 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 + 2\sqrt{3}$