$0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ のとき、$\cos 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos 2\alpha$ の二倍角の公式を利用します。

$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$ を代入すると、

$\cos 2\alpha = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1$

$\cos 2\alpha = 2\left(\frac{16}{25}\right) - 1$

$\cos 2\alpha = \frac{32}{25} - 1$

$\cos 2\alpha = \frac{32}{25} - \frac{25}{25}$

$\cos 2\alpha = \frac{32-25}{25}$

$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$

3. 最終的な答え

$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$