$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 0$ (2) $\sin 2\theta = \cos \theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\cos 2\theta + \sin \theta = 0$

(2) $\sin 2\theta = \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta + \sin \theta = 0$ を解く。

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表すために、2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いる。

すると、方程式は次のようになる。

$1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 0$

$2\sin^2 \theta - \sin \theta - 1 = 0$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、方程式は

$2x^2 - x - 1 = 0$

$(2x + 1)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, 1$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}, 1$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

$\sin \theta = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$

(2)

$\sin 2\theta = \cos \theta$ を解く。

まず、$\sin 2\theta$ を $\theta$ で表すために、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を用いる。

すると、方程式は次のようになる。

$2\sin \theta \cos \theta = \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$

$\cos \theta (2\sin \theta - 1) = 0$

$\cos \theta = 0$ または $2\sin \theta - 1 = 0$

$\cos \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(2) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi$