与えられた数式の値を計算します。 与えられた数式は、$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。

与えられた数式は、$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ を掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$$

次に、$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$$

したがって、

$$$$

\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$