$a>0, b>0$のとき、次の不等式を証明する問題です。 (1) $ab + \frac{9}{ab} \geq 6$ (2) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \geq 9$

1. 問題の内容

$a>0, b>0$のとき、次の不等式を証明する問題です。

(1) $ab + \frac{9}{ab} \geq 6$

(2) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \geq 9$

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を利用します。$ab > 0$なので、$ab$と$\frac{9}{ab}$は正の数です。したがって、

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \geq \sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}}$

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \geq \sqrt{9}$

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \geq 3$

$ab + \frac{9}{ab} \geq 6$

等号成立は、$ab = \frac{9}{ab}$のとき、つまり$ab = 3$のときです。

(2) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a})$を展開します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) = ab + 4 + 1 + \frac{4}{ab} = ab + \frac{4}{ab} + 5$

ここで、$ab > 0$なので、相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{ab + \frac{4}{ab}}{2} \geq \sqrt{ab \cdot \frac{4}{ab}}$

$\frac{ab + \frac{4}{ab}}{2} \geq \sqrt{4}$

$\frac{ab + \frac{4}{ab}}{2} \geq 2$

$ab + \frac{4}{ab} \geq 4$

したがって、

$ab + \frac{4}{ab} + 5 \geq 4 + 5 = 9$

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \geq 9$

等号成立は、$ab = \frac{4}{ab}$のとき、つまり$ab = 2$のときです。

3. 最終的な答え

(1) $ab + \frac{9}{ab} \geq 6$ (証明終わり)

(2) $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{4}{a}) \geq 9$ (証明終わり)