$x^2 + y^2 = 2$ のとき、$z = xy$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 2$ のとき、$z = xy$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と置きます。このとき、$x^2 + y^2 = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2$ となります。

与えられた条件 $x^2 + y^2 = 2$ より、$r^2 = 2$、すなわち $r = \sqrt{2}$ となります。

したがって、$x = \sqrt{2}\cos\theta$, $y = \sqrt{2}\sin\theta$ と表せます。

このとき、$z = xy = (\sqrt{2}\cos\theta)(\sqrt{2}\sin\theta) = 2\cos\theta\sin\theta = \sin(2\theta)$ となります。

$-1 \le \sin(2\theta) \le 1$ であるから、$-1 \le z \le 1$ となります。

最大値をとるのは $\sin(2\theta) = 1$ のときであり、このとき $2\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) より $\theta = \frac{\pi}{4} + n\pi$ となります。

$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$x = \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$, $y = \sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ となり、$z = xy = 1 \cdot 1 = 1$ となります。

最小値をとるのは $\sin(2\theta) = -1$ のときであり、このとき $2\theta = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数) より $\theta = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ となります。

$\theta = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$x = \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1$, $y = \sqrt{2}\sin(-\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$ となり、$z = xy = 1 \cdot (-1) = -1$ となります。

したがって、$z$ の最大値は $1$、最小値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 1

最小値: -1