三角形ABCにおいて、辺BC上に点F, 辺CA上に点E, 辺AB上に点Dがあるとき、 $\frac{FC}{BF} \times \frac{EA}{CE} \times \frac{DB}{AD} = 1$ となることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点F, 辺CA上に点E, 辺AB上に点Dがあるとき、

$\frac{FC}{BF} \times \frac{EA}{CE} \times \frac{DB}{AD} = 1$

となることを証明する。

2. 解き方の手順

これはチェバの定理の証明問題です。チェバの定理は、三角形ABCにおいて、辺BC上に点F, 辺CA上に点E, 辺AB上に点Dがあるとき、3直線AD, BE, CFが1点で交わるならば、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

が成り立つという定理です。

この定理の逆も成り立ちます。つまり、三角形ABCにおいて、辺BC上に点F, 辺CA上に点E, 辺AB上に点Dがあるとき、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

が成り立つならば、3直線AD, BE, CFは1点で交わるという定理です。

今回証明する式は、チェバの定理の式を並び替えたものです。問題文の式は、以下のようになります。

$\frac{FC}{BF} \times \frac{EA}{CE} \times \frac{DB}{AD} = 1$

$\frac{FC}{BF} \cdot \frac{EA}{CE} \cdot \frac{DB}{AD} = 1$

$\frac{EA}{CE} \cdot \frac{DB}{AD} \cdot \frac{FC}{BF} = 1$

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

3直線AD, BE, CFが1点で交わっているため、チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

が成り立ちます。

したがって、

$\frac{FC}{BF} \times \frac{EA}{CE} \times \frac{DB}{AD} = 1$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

チェバの定理より、$\frac{FC}{BF} \times \frac{EA}{CE} \times \frac{DB}{AD} = 1$ が成り立つ。