ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$ であるとき、以下の値を求めよ。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 (3) $|\vec{a} + \vec{b}|$ (4) 実数 $t$ に対して、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値

はい、承知いたしました。ベクトルに関する問題ですね。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$ であるとき、以下の値を求めよ。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|$

(4) 実数 $t$ に対して、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$5 = 1 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2$

$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 2 - 5 = -2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$-1 = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{3}{4}\pi$ (または $135^{\circ}$)

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|$ を求める。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 2(-1) + 2 = 1$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 1$

(4) $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値とそのときの $t$ の値を求める。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t^2|\vec{b}|^2$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = 1 + 2t(-1) + t^2(2) = 2t^2 - 2t + 1 = 2(t^2 - t) + 1 = 2(t - \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = 2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{2}$ をとる。

したがって、 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

(2) $\theta = \frac{3}{4}\pi$

(3) $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$

(4) 最小値: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, そのときの $t$ の値: $t = \frac{1}{2}$