$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ であり、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ であり、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係を利用する。

まず、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ の式を利用して $\sin \theta$ を求める。

$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ を代入すると、

$\sin^2 \theta + \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{25} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \geqq 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の式を利用して $\tan \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ および $\cos \theta = -\frac{1}{5}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times (-5) = -2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = -2\sqrt{6}$