次の3つの式を解きます。 (1) $|x-3|=2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

次の3つの式を解きます。

(1) $|x-3|=2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3|=2x$

絶対値の中身の符号で場合分けをします。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

$x=-3$

これは $x \ge 3$ を満たさないので不適。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x=1$

これは $x < 3$ を満たすので適する。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値の中身の符号で場合分けをします。

(i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき

$x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $x \ge 4$

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき

$-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$

(i)(ii)を合わせて $x \ge 1$

また、$2x+1 \ge 0$ である必要があるため、$2x \ge -1$, $x \ge -1/2$。

したがって、$x \ge 1$ が解となる。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値の中身の符号で場合分けをします。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき

$-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$

(i)(ii)を合わせて $x < \frac{1}{4}$

また、$5x < |x+1|$ なので、常に$|x+1|\geq 0$であるので、$5x$ が負である必要がある。 つまり$x<0$

したがって、$x < \frac{1}{4}$ が解となる。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$