三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}$, $C=120^\circ$であるとき、$B$と$A$の角度を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2$, $c=\sqrt{6}$, $C=120^\circ$であるとき、$B$と$A$の角度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて、$B$の角度を求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

です。

この問題では、$b=2$, $c=\sqrt{6}$, $C=120^\circ$なので、

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$

$\sin B = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B$は三角形の内角なので、$0^\circ < B < 180^\circ$。

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$となる$B$の値は、$45^\circ$と$135^\circ$ですが、$C=120^\circ$なので、$B > 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$となることはありません。したがって、$B = 45^\circ$となります。

次に、$A$の角度を求めます。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A + B + C = 180^\circ$

$A = 180^\circ - B - C$

$A = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ$

$A = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$B = 45^\circ$

$A = 15^\circ$