三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{2}$, $c = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $A = 30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = 2\sqrt{2}$, $c = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $A = 30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角$B$, $C$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$a$を求める。余弦定理は

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

である。与えられた値を代入すると、

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{6})^2 - 2(2\sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{6})\cos 30^\circ$

$a^2 = 8 + (2 + 2\sqrt{12} + 6) - 4\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{6})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 8 + 8 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{3}$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 2(\sqrt{36} + \sqrt{12})$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 2(6 + 2\sqrt{3})$

$a^2 = 16 + 4\sqrt{3} - 12 - 4\sqrt{3}$

$a^2 = 4$

$a = 2$

次に、正弦定理を用いて角$B$を求める。正弦定理は

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

である。与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$\frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$4 = \frac{2\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$

$A + B + C = 180^\circ$

もし$B = 135^\circ$ ならば $C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

もし$B = 45^\circ$ ならば $C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

$c = \sqrt{2} + \sqrt{6} \approx 1.414 + 2.449 = 3.863$

$b = 2\sqrt{2} \approx 2.828$

$a = 2$

なので、$c > b > a$ である必要があり、$C > B > A$ でなければならない。

$B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$ の時、$C > B > A$ であるため、正しい。

$B = 135^\circ$, $C = 15^\circ$ の時、$C < A < B$ であるため、正しくない。

したがって、$B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$B = 45^\circ$

$C = 105^\circ$