(1) 3点P(0, 3), Q(1, -1), R(4, -1)を通る円の方程式、中心の座標、および半径を求める。 (2) 原点中心・半径5の円上の点A(-3, 4)における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 3点P(0, 3), Q(1, -1), R(4, -1)を通る円の方程式、中心の座標、および半径を求める。

(2) 原点中心・半径5の円上の点A(-3, 4)における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とおく。点P, Q, Rの座標をそれぞれ代入する。

点P(0, 3)を代入：

$(0 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2$

$a^2 + (3 - b)^2 = r^2$ ...(1)

点Q(1, -1)を代入：

$(1 - a)^2 + (-1 - b)^2 = r^2$

$(1 - a)^2 + (b + 1)^2 = r^2$ ...(2)

点R(4, -1)を代入：

$(4 - a)^2 + (-1 - b)^2 = r^2$

$(4 - a)^2 + (b + 1)^2 = r^2$ ...(3)

(2)と(3)より

$(1 - a)^2 + (b + 1)^2 = (4 - a)^2 + (b + 1)^2$

$(1 - a)^2 = (4 - a)^2$

$1 - 2a + a^2 = 16 - 8a + a^2$

$6a = 15$

$a = \frac{5}{2}$

(1)と(2)より

$a^2 + (3 - b)^2 = (1 - a)^2 + (b + 1)^2$

$\left(\frac{5}{2}\right)^2 + (3 - b)^2 = \left(1 - \frac{5}{2}\right)^2 + (b + 1)^2$

$\frac{25}{4} + 9 - 6b + b^2 = \frac{9}{4} + b^2 + 2b + 1$

$\frac{16}{4} + 8 = 8b$

$4 + 8 = 8b$

$12 = 8b$

$b = \frac{3}{2}$

$r^2 = a^2 + (3 - b)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(3 - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}$

$r = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$

円の方程式は $\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{2}$

中心は $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$

半径は $\frac{\sqrt{34}}{2}$

(2)

原点中心・半径5の円の方程式は $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$

点A(-3, 4)における接線の方程式は $-3x + 4y = 25$

3. 最終的な答え

(1)

円の方程式: $\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{17}{2}$

中心: $\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right)$

半径: $\frac{\sqrt{34}}{2}$

(2)

接線の方程式: $-3x + 4y = 25$

または $3x - 4y + 25 = 0$