2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。 (1) $x^2+x+1$ (2) $4x^2+9$

1. 問題の内容

2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する問題です。

(1) $x^2+x+1$

(2) $4x^2+9$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+x+1$ を因数分解します。

解の公式を用いて、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、$x_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$、$x_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$が解なので、因数分解は

$x^2+x+1 = (x - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}) = (x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2})(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2})$

(2) $4x^2+9$ を因数分解します。

$4x^2 + 9 = 0$ を解くと、

$4x^2 = -9$

$x^2 = -\frac{9}{4}$

$x = \pm \sqrt{-\frac{9}{4}} = \pm \frac{3}{2}i$

よって、$x_1 = \frac{3}{2}i$、$x_2 = -\frac{3}{2}i$が解なので、因数分解は

$4x^2+9 = 4(x - \frac{3}{2}i)(x + \frac{3}{2}i) = (2x - 3i)(2x + 3i)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2})(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2})$

(2) $(2x - 3i)(2x + 3i)$