三角形ABCにおいて、$AB = 15$, $BC = 12$, $CA = 5$ である。角Aの二等分線が直線BCと交わる点をD、角Aの外角の二等分線が直線BCと交わる点をEとするとき、$BD$と$CE$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 15$, $BC = 12$, $CA = 5$ である。角Aの二等分線が直線BCと交わる点をD、角Aの外角の二等分線が直線BCと交わる点をEとするとき、$BD$と$CE$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC$。

$BD = x$ とすると、$DC = BC - BD = 12 - x$。

したがって、$x:(12-x) = 15:5$。

これを解くと、

$5x = 15(12-x)$

$5x = 180 - 15x$

$20x = 180$

$x = 9$

よって、$BD = 9$。

(2) 角の二等分線の定理（外角）より、$CE:BE = AC:AB$。

$CE = y$ とすると、$BE = BC + CE = 12 + y$。

したがって、$y:(12+y) = 5:15$。

$15y = 5(12+y)$

$15y = 60 + 5y$

$10y = 60$

$y = 6$

よって、$CE = 6$。

3. 最終的な答え

$BD = 9$

$CE = 6$