下の図において、BP:PN および CP:PM を求めよ。図には、線分AM:MB = 2:1, 線分AN:NC = 3:4 が示されている。

1. 問題の内容

下の図において、BP:PN および CP:PM を求めよ。図には、線分AM:MB = 2:1, 線分AN:NC = 3:4 が示されている。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{BQ}{QC} = \frac{3}{8}$

メネラウスの定理を三角形 ABN と直線 CM 上に適用する。

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{4}{7} = 1$

$\frac{BP}{PN} = \frac{7}{8}$

したがって、BP:PN = 7:8

次に、メネラウスの定理を三角形 MBC と直線 AN 上に適用する。

$\frac{CN}{NA} \cdot \frac{AP}{PM} \cdot \frac{MB}{BC} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{CP}{PM} \cdot \frac{1}{9} = 1$

(ただし、BC= BQ+QC = 3+8=11 と置くと、 MB/BC =1/(1+2+8) =1/11)

$\frac{CP}{PM} = \frac{33}{4}$

したがって、CP:PM = 33:4

3. 最終的な答え

BP:PN = 7:8

CP:PM = 33:4