与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を展開し、整理・因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を展開し、整理・因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$(a+b)c^2 = ac^2 + bc^2$

$(b+c)a^2 = ba^2 + ca^2$

$(c+a)b^2 = cb^2 + ab^2$

与えられた式は次のようになります。

$ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

これを整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

次に、この式を因数分解します。この式は、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開した結果と等しいことが予想できます。実際に展開してみると

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$