与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解または整理すること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を因数分解または整理すること。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2 + 2abc = ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

次に、式を整理して、因数分解しやすい形に並べ替えます。

$ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

ここで、与えられた式が $(a+b)(b+c)(c+a)$ に等しいことを示します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

したがって、与えられた式は $(a+b)(b+c)(c+a)$ に因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$