与えられた式 $(a+b)c^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (c+a)b^2 + 2abc$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$(a+b)c^2 = ac^2 + bc^2$

$(c+a)b^2 = cb^2 + ab^2$

したがって、

$(a+b)c^2 + (c+a)b^2 + 2abc = ac^2 + bc^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

$= ac^2 + bc^2 + b^2c + ab^2 + 2abc$

次に、式を整理します。

$ac^2 + bc^2 + b^2c + ab^2 + 2abc = ac^2 + abc + bc^2 + abc + ab^2 + b^2c$

$= ac(c+b) + bc(c+b) + ab(b+c)$

$= c(a+b)(c+b) + ab(b+c)$

$= (a+b)(bc + c^2) + ab^2 + abc$

$= ac^2 + abc + bc^2 + b^2c + ab^2 + abc$

$= ac^2 + 2abc + bc^2 + ab^2 + b^2c$

因数分解を試みます。

$ac^2 + bc^2 + b^2c + ab^2 + 2abc$

$= a(c^2 + b^2 + 2bc/a) + ...$

$= (a+b)c^2 + (c+a)b^2 + 2abc$

$= ac^2 + bc^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

$= ac^2 + ab^2 + bc^2 + b^2c + 2abc$

$= a(c^2 + b^2) + b(c^2 + b^2) + 2abc$

$= a(c^2+b^2) + b(c^2+b^2) + 2abc = a(b^2+c^2) + b(b^2+c^2) + 2abc$

$= ab^2 + ac^2 + b^3 + bc^2 + 2abc$

これは簡単にならないように見える。

しかし、もし問題が $(a+b)c^2 + (b+c)a^2 + (c+a)b^2$だったら、答えば $abc$となります。

もう一度確認します。

$ac^2 + bc^2 + b^2c + ab^2 + 2abc$

$= (a+b)c^2 + b^2(c+a) + 2abc = (a+b)c^2 + cb^2 + ab^2 + 2abc$

$=(a+b)(b+c)(c+a) = ac^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc + b^2 c+ bc^2 +abc = (a+b+c)$

$(a+b)(b+c)(c+a)$

もしかしたら因数分解の結果は$(a+b)(b+c)(c+a)$ かもしれない。

$(a+b)(bc+ba+c^2+ca)= abc+a^2 b + ac^2 + a^2 c+b^2 c + ab^2 + bc^2 + abc=a^2b + a^2 c +ab^2+2abc+b^2 c+ ac^2+ bc^2$

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(bc+c^2+ab+ac)=abc+ac^2+a^2b+a^2c+b^2c+bc^2+ab^2+abc$

$= a^2b +a^2 c+b^2 c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$