$\sin{\theta} - \cos{\theta}$ の最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sin{\theta} - \cos{\theta}$ の最小値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

$\sin{\theta} - \cos{\theta}$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin{\theta} - \cos{\theta} = \sqrt{2} \sin{(\theta - \frac{\pi}{4})}$

ここで、$0 \leq \theta < 2\pi$ より、

$-\frac{\pi}{4} \leq \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$

である。

$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})}$ の最小値は $-1$ である。

$\sin{(\theta - \frac{\pi}{4})} = -1$ のとき、$\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ であるから、

$\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

したがって、$\sin{\theta} - \cos{\theta}$ の最小値は $-\sqrt{2}$ で、そのときの $\theta$ の値は $\frac{7\pi}{4}$ である。

3. 最終的な答え

最小値: $-\sqrt{2}$

$\theta$: $\frac{7\pi}{4}$