放物線 $C: y = x^2 - ax - b$ があり、頂点の座標が $(1, -4)$ である。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) 放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $k$ ($k$ は正の定数) だけ平行移動した放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。放物線 $y = f(x)$ が原点を通るとき、$k$ の値を求める。このとき、$t-1 \le x \le t+1$ ($t \ge 2$) における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (i) $M = 2$ のとき、$t$ の値を求める。 (ii) $M - m = \frac{64}{9}$ のとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - ax - b$ があり、頂点の座標が $(1, -4)$ である。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) 放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $k$ ($k$ は正の定数) だけ平行移動した放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。放物線 $y = f(x)$ が原点を通るとき、$k$ の値を求める。このとき、$t-1 \le x \le t+1$ ($t \ge 2$) における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(i) $M = 2$ のとき、$t$ の値を求める。

(ii) $M - m = \frac{64}{9}$ のとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 - ax - b$ を平方完成すると、

$y = (x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} - b$ となる。

頂点の座標は $(\frac{a}{2}, -\frac{a^2}{4} - b)$ であるから、

$\frac{a}{2} = 1$ より $a = 2$

$-\frac{a^2}{4} - b = -4$ より、$-\frac{2^2}{4} - b = -4$ なので $-1 - b = -4$ より $b = 3$

(2)

$y = x^2 - 2x - 3$ を $x$ 軸方向に $k$ だけ平行移動すると、

$y = (x - k)^2 - 2(x - k) - 3 = x^2 - 2kx + k^2 - 2x + 2k - 3 = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3 = f(x)$

$f(x)$ が原点を通るので、$f(0) = 0$ より、

$0^2 - 2(k+1)(0) + k^2 + 2k - 3 = 0$

$k^2 + 2k - 3 = 0$

$(k + 3)(k - 1) = 0$

$k > 0$ より、$k = 1$

$f(x) = x^2 - 4x$

(i)

$f(x) = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

軸 $x = 2$ より、$t-1 \le x \le t+1$ の範囲に $x = 2$ が含まれるとき、$f(x)$ は $x = 2$ で最小値 $-4$ をとる。

$M = 2$ なので、$t - 1 \le x \le t + 1$ の範囲で $f(x) = 2$ となる $x$ が存在する。

$x^2 - 4x = 2$

$x^2 - 4x - 2 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$t - 1 \le 2 + \sqrt{6} \le t + 1$ と $t - 1 \le 2 - \sqrt{6} \le t + 1$

$2 - \sqrt{6} < 2$ より、$f(x)$ は $x = t - 1$ で最大値をとる。

$f(t - 1) = (t - 1)^2 - 4(t - 1) = t^2 - 2t + 1 - 4t + 4 = t^2 - 6t + 5 = 2$

$t^2 - 6t + 3 = 0$

$t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

$t \ge 2$ より、$t = 3 + \sqrt{6}$

(ii)

$f(x) = x^2 - 4x$

$f'(x) = 2x - 4$

$f'(x) = 0$ より $x = 2$

$x = 2$ が $t - 1 \le x \le t + 1$ に含まれるとき、

$t - 1 \le 2 \le t + 1$ より $1 \le t \le 3$

$t \ge 2$ より $2 \le t \le 3$

このとき最小値は $f(2) = -4$

$f(t - 1) = t^2 - 6t + 5$

$f(t + 1) = (t + 1)^2 - 4(t + 1) = t^2 + 2t + 1 - 4t - 4 = t^2 - 2t - 3$

$f(t - 1) - f(t + 1) = (t^2 - 6t + 5) - (t^2 - 2t - 3) = -4t + 8$

$t \le 2$ で $f(t - 1) \ge f(t + 1)$ であり、$t \ge 2$ で $f(t - 1) \le f(t + 1)$

$t = 2$ で $f(t - 1) = f(t + 1) = -3$

$M = max(f(t - 1), f(t + 1))$

$t + 1 \le 2$ のとき $M = f(t + 1) = t^2 - 2t - 3$

$t - 1 \ge 2$ のとき $M = f(t - 1) = t^2 - 6t + 5$

$f(t+1)-f(2) = (t^2 - 2t - 3) - (-4) = t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2$, $f(t-1) - f(2) = (t^2 - 6t + 5) - (-4) = t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2$

$M - m = \frac{64}{9}$

$M - (-4) = \frac{64}{9}$

$M = \frac{64}{9} - 4 = \frac{64 - 36}{9} = \frac{28}{9}$

$t > 3$ のとき、$t^2 - 6t + 5 = \frac{28}{9}$

$9t^2 - 54t + 45 = 28$

$9t^2 - 54t + 17 = 0$

$t = \frac{54 \pm \sqrt{54^2 - 4 \cdot 9 \cdot 17}}{18} = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 612}}{18} = \frac{54 \pm \sqrt{2304}}{18} = \frac{54 \pm 48}{18} = \frac{3 \pm 8/3}{1} = 3 \pm 8/3$

$t = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$ または $t = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$

$t \ge 2$ なので、$t = \frac{17}{3}$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：3

ウ：1

エ：3

オ：6

カキ：17

ク：3