関数 $f(x) = -x^3 + 27x - 1$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 27x - 1$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 27$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$-3x^2 + 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

したがって、$x = 3$ および $x = -3$ が極値の候補となります。

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -6x$

$x = 3$ のとき、$f''(3) = -6(3) = -18 < 0$ であるから、$x = 3$ で極大となります。極大値は、$f(3) = -(3)^3 + 27(3) - 1 = -27 + 81 - 1 = 53$

$x = -3$ のとき、$f''(-3) = -6(-3) = 18 > 0$ であるから、$x = -3$ で極小となります。極小値は、$f(-3) = -(-3)^3 + 27(-3) - 1 = -(-27) - 81 - 1 = 27 - 81 - 1 = -55$

3. 最終的な答え

$x = 3$ で極大値 $53$

$x = -3$ で極小値 $-55$