双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ が与えられたとき、以下の等式を証明する問題です。 (I) (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (2) $\sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$ (3) $\cosh (x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$ (II) 双曲線関数 $\cosh x$ (ただし、$x > 0$), $\sinh x$, $\tanh x$ の逆関数をそれぞれ $\cosh^{-1} x$, $\sinh^{-1} x$, $\tanh^{-1} x$ とするとき、以下の等式を証明する問題です。 (1) $\sinh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (-\infty < x < \infty)$ (2) $\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geq 1)$ (3) $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1)$

1. 問題の内容

双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ が与えられたとき、以下の等式を証明する問題です。

(I)

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $\sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$

(3) $\cosh (x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(II) 双曲線関数 $\cosh x$ (ただし、$x > 0$), $\sinh x$, $\tanh x$ の逆関数をそれぞれ $\cosh^{-1} x$, $\sinh^{-1} x$, $\tanh^{-1} x$ とするとき、以下の等式を証明する問題です。

(1) $\sinh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (-\infty < x < \infty)$

(2) $\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geq 1)$

(3) $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1)$

2. 解き方の手順

(I)

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 - \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(2) $\sinh (x+y) = \frac{e^{x+y} - e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y - e^{-x} e^{-y}}{2}$

$\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \frac{e^y + e^{-y}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2} \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \frac{(e^x - e^{-x})(e^y + e^{-y}) + (e^x + e^{-x})(e^y - e^{-y})}{4} = \frac{e^{x+y} + e^{x-y} - e^{-x+y} - e^{-x-y} + e^{x+y} - e^{x-y} + e^{-x+y} - e^{-x-y}}{4} = \frac{2e^{x+y} - 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} - e^{-(x+y)}}{2} = \sinh(x+y)$

$\sinh(x-y)$についても同様に証明できる。

(3) $\cosh (x+y) = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \frac{e^x e^y + e^{-x} e^{-y}}{2}$

$\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \frac{e^y + e^{-y}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2} \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \frac{(e^x + e^{-x})(e^y + e^{-y}) + (e^x - e^{-x})(e^y - e^{-y})}{4} = \frac{e^{x+y} + e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{-x-y} + e^{x+y} - e^{x-y} - e^{-x+y} + e^{-x-y}}{4} = \frac{2e^{x+y} + 2e^{-(x+y)}}{4} = \frac{e^{x+y} + e^{-(x+y)}}{2} = \cosh(x+y)$

$\cosh(x-y)$についても同様に証明できる。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ （ロピタルの定理を用いた）

(II)

(1) $y = \sinh^{-1} x$ とすると、$x = \sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

$2x = e^y - e^{-y}$

$2x = e^y - \frac{1}{e^y}$

$2x e^y = e^{2y} - 1$

$e^{2y} - 2x e^y - 1 = 0$

$e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 + 1}$

$e^y > 0$ より、$e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$

$y = \log (x + \sqrt{x^2 + 1})$

したがって、$\sinh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 + 1})$

(2) $y = \cosh^{-1} x$ とすると、$x = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$

$2x = e^y + e^{-y}$

$2x = e^y + \frac{1}{e^y}$

$2x e^y = e^{2y} + 1$

$e^{2y} - 2x e^y + 1 = 0$

$e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$

$y \geq 0$より、$e^y \geq 1$となる必要がある。

$x - \sqrt{x^2-1} = \frac{(x - \sqrt{x^2 - 1})(x + \sqrt{x^2 - 1})}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$であり、$x + \sqrt{x^2 - 1} > 1$なので、$x - \sqrt{x^2 - 1} < 1$となる。しかし、$x \ge 1$ で、$x+\sqrt{x^2-1}>0$なので、$e^y = x+\sqrt{x^2-1}$

$y = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$

したがって、$\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$

(3) $y = \tanh^{-1} x$ とすると、$x = \tanh y = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$

$x = \frac{e^y - \frac{1}{e^y}}{e^y + \frac{1}{e^y}} = \frac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1}$

$x (e^{2y} + 1) = e^{2y} - 1$

$x e^{2y} + x = e^{2y} - 1$

$e^{2y} (1 - x) = 1 + x$

$e^{2y} = \frac{1+x}{1-x}$

$2y = \log \frac{1+x}{1-x}$

$y = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$

したがって、$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$

3. 最終的な答え

(I)

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $\sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$

(3) $\cosh (x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(II)

(1) $\sinh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 + 1})$

(2) $\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$

(3) $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$