三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=8$, $\angle A$は鋭角であり、$\triangle ABC$の面積は$10\sqrt{3}$である。 (1) $\angle A$と$BC$の値を求める。 (2) $\triangle ABC$の外接円上の点Bを含まない弧AC上に、$\angle CAD=30^\circ$となるように点Dをとる。また、辺ACと線分BDとの交点をEとする。このとき、$AD$と$AE$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=8$, $\angle A$は鋭角であり、$\triangle ABC$の面積は$10\sqrt{3}$である。

(1) $\angle A$と$BC$の値を求める。

(2) $\triangle ABC$の外接円上の点Bを含まない弧AC上に、$\angle CAD=30^\circ$となるように点Dをとる。また、辺ACと線分BDとの交点をEとする。このとき、$AD$と$AE$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積の公式より、

$\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = 10\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin A = 10\sqrt{3}$

$20 \sin A = 10\sqrt{3}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle A$は鋭角なので、$\angle A = 60^\circ$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$

(2) 円周角の定理より、$\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ$

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 30^\circ$

また、$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle A - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - \angle ACB = 120^\circ - \angle ACB$

$\angle ADC = \angle ADB = \angle ACB$

$\angle ACD = \angle ACB$

$\angle CAD = 30^\circ$なので、$\triangle ADC$において、$\angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ$

$\angle ADC + \angle ACD + 30^\circ = 180^\circ$

$\angle ADC + \angle ACD = 150^\circ$

$\angle ACB + \angle ACD = \angle BCD = 150^\circ$

$\triangle ABD$において正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$

$\frac{AD}{\sin (\angle ABC + 30^\circ)} = \frac{5}{\sin \angle ACB}$

$\triangle ABC$において正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle A}$

$\frac{5}{\sin \angle ACB} = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$\sin \angle ACB = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

$\angle ACB = \arcsin(\frac{5\sqrt{3}}{14})$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \angle ACB$

$\angle ABD = 180^\circ - \angle ACB + 30^\circ = 210^\circ - \angle ACB$

$\angle CED = \angle A + \angle CBD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$

$\triangle ADE$において、$\angle DAE = 30^\circ$, $\angle AED = 90^\circ$なので、

$AD = 2AE$

$\frac{AD}{\sin(\angle ABC+30)} = \frac{5}{\sin \angle ACB}$

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{5}{\sin (\angle ACB)}$

$AD = \frac{5\sin(\angle ABD)}{\sin \angle ACB}$

$\angle BEC = \angle AED$

$\angle EBC = \angle CBD = 30$

$\triangle EBC$において、$\angle ACB + \angle CBD + \angle BEC = 180^\circ$

$\angle ADB = \angle ACB$, $\angle CAD = \angle CBD = 30^\circ$

$\triangle ABD$において正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{5}{\sin \angle ACB}$

$\triangle ACD$において正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} = \frac{8}{\sin \angle ADC}$

$\angle ADE = \angle ACB$, $\angle CAD = 30$

$\frac{5}{\sin \angle ACB} = \frac{8}{\sin \angle ABC}$, $\angle ACB + \angle ABC = 120^\circ$

$\angle ABC + 30 = \angle ABD$

$\angle BEC = \angle AED$, $\triangle ADE$において、$AD^2 = AE^2+DE^2-2AE\cdot DE\cos \angle AED$

$\angle BEC = 90$, $\angle ABC=180-60-\theta$

$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R$

$\angle D = \angle ABC$

$\frac{AD}{\sin 30} = 2R \sin CAD = 2 AE = \frac{8 \cdot 8}{\sqrt(75)}$

$AE=5$

$AD = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

$AE = \frac{40}{2}$

$AD = 2\sqrt{52-8}=\frac{2(40)}{\sqrt{3}}$

AD = (8√3)/3

AE=10/3

3. 最終的な答え

$\angle A = 60^\circ$

$BC = 7$

$AD = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

$AE = \frac{10}{3}$