与えられた等比級数 $1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める。

1. 問題の内容

与えられた等比級数 $1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた級数は初項 $a=1$、公比 $r = -2x$ の等比級数である。等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいこと、つまり $|r| < 1$ である。

したがって、

$|-2x| < 1$

$|2x| < 1$

$|x| < \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

よって、等比級数が収束する $x$ の範囲は $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$。

等比級数が収束するときの和 $S$ は、次の式で与えられる。

$S = \frac{a}{1 - r}$

この場合、$a = 1$、$r = -2x$ なので、

$S = \frac{1}{1 - (-2x)} = \frac{1}{1 + 2x}$

3. 最終的な答え

等比級数が収束する $x$ の範囲: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

収束するときの和: $S = \frac{1}{1 + 2x}$