問題は、三角形ABCにおいて、AB=5, AC=8, 面積が$10\sqrt{3}$であるという条件のもと、以下の問いに答えるものです。 (1) $\angle A$とBCの長さを求めます。 (2) $\triangle ABC$の外接円上に点Dを$\angle CAD = 30^\circ$となるように取り、辺ACと線分BDの交点をEとしたとき、ADとAEの長さを求めます。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCにおいて、AB=5, AC=8, 面積が$10\sqrt{3}$であるという条件のもと、以下の問いに答えるものです。

(1) $\angle A$とBCの長さを求めます。

(2) $\triangle ABC$の外接円上に点Dを$\angle CAD = 30^\circ$となるように取り、辺ACと線分BDの交点をEとしたとき、ADとAEの長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を利用して、$\angle A$ を求めます。面積$S=10\sqrt{3}$, $AB=5, AC=8$を代入すると、

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin A$

$\sin A = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle A$は鋭角なので、$\angle A = 60^\circ$となります。

次に、余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ を利用して、BCの長さを求めます。$BC=a, AB=c=5, AC=b=8, \angle A = 60^\circ$を代入すると、

$a^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos 60^\circ$

$a^2 = 64 + 25 - 80 \times \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$a = \sqrt{49} = 7$

したがって、$BC = 7$です。

(2) 円周角の定理より、$\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ$です。また、$\angle BAC = 60^\circ$なので、$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$です。$\triangle ABD$において、正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = 2R$, ここでRは$\triangle ABC$の外接円の半径です。

$\frac{BC}{\sin \angle A} = 2R$なので、$2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 30^\circ$

$\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - \angle ABC = 120^\circ - \angle ABC$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$

$\frac{5}{\sin (120^\circ - \angle ABC)} = \frac{8}{\sin \angle ABC}$

$5\sin \angle ABC = 8\sin (120^\circ - \angle ABC) = 8(\sin 120^\circ \cos \angle ABC - \cos 120^\circ \sin \angle ABC)$

$5\sin \angle ABC = 8(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \angle ABC + \frac{1}{2}\sin \angle ABC)$

$5\sin \angle ABC = 4\sqrt{3}\cos \angle ABC + 4\sin \angle ABC$

$\sin \angle ABC = 4\sqrt{3}\cos \angle ABC$

$\tan \angle ABC = 4\sqrt{3}$

$\angle ABC \approx 81.79^\circ$

$\angle ABD = 81.79^\circ + 30^\circ = 111.79^\circ$

したがって、$AD = 2R \sin \angle ABD = \frac{14}{\sqrt{3}}\sin 111.79^\circ \approx \frac{14}{\sqrt{3}}(0.9288) \approx 7.49 \approx \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$

$\triangle ADE$において、$\angle DAE = 30^\circ$、$\angle ADE = \angle ABC \approx 81.79^\circ$

$\angle AED = 180^\circ - 30^\circ - \angle ABC$

$\angle AED = 180^\circ - 30^\circ - 81.79^\circ \approx 68.21^\circ$

$\triangle ABE$において、$\angle AEB = 180^\circ - 68.21^\circ \approx 111.79^\circ$

$\frac{AE}{\sin \angle ABE} = \frac{AB}{\sin \angle AEB}$

$\angle ABE = \angle ABC = 81.79^\circ$

$AE = \frac{AB \sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} = \frac{5 \sin 81.79^\circ}{\sin 111.79^\circ} \approx \frac{5(0.99)}{0.9288} \approx 5.33$

$\angle ADB = \angle ACB = 120 - \angle ABC = 120-81.79 = 38.21$

$\angle EAB = 30$

$\angle AEB = 180-38.21-30 = 111.79$

$\frac{AE}{\sin \angle EBA} = \frac{AB}{\sin \angle AEB}$

$\frac{AE}{\sin 81.79} = \frac{5}{\sin 111.79}$

$AE = 5.33 = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\angle A = 60^\circ$

$BC = 7$

$AD = \frac{15\sqrt{3}}{3}= 5 \sqrt{3}$

$AE = \frac{16}{3}$