問題は、次の2つの極限値を求めることです。 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの極限値を求めることです。

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ の場合：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という極限の公式を利用します。

まず、$\frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ を次のように変形します。

$\frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3\theta}{2\theta} = \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2}$

ここで、$\theta \to 0$ のとき、$3\theta \to 0$ ですから、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2} \right) = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$ の場合：

これも、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という極限の公式を利用します。

$\frac{\theta}{\sin 3\theta} = \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{\theta}} = \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta}}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} = 1$ なので、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sin 3\theta}{3\theta}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{3}$