三角形ABCにおいて、AB=5, AC=8, ∠Aは鋭角であり、三角形ABCの面積は$10\sqrt{3}$である。 (1) ∠AとBCの値を求める。 (2) 三角形ABCの外接円上の点Bを含まない弧AC上に、∠CAD=30°となるように点Dをとる。また、辺ACと線分BDとの交点をEとする。ADとAEの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=5, AC=8, ∠Aは鋭角であり、三角形ABCの面積は$10\sqrt{3}$である。

(1) ∠AとBCの値を求める。

(2) 三角形ABCの外接円上の点Bを含まない弧AC上に、∠CAD=30°となるように点Dをとる。また、辺ACと線分BDとの交点をEとする。ADとAEの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の面積の公式より、$\frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin{A} = 10\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin{A} = 10\sqrt{3}$

$20\sin{A} = 10\sqrt{3}$

$\sin{A} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

∠Aは鋭角なので、∠A = 60°

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos{A}$

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \times 5 \times 8 \times \cos{60°}$

$BC^2 = 25 + 64 - 80 \times \frac{1}{2}$

$BC^2 = 89 - 40 = 49$

$BC = 7$

(2)

∠CAD = 30°、∠BAC = 60°より、∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 30° = 90°

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin{A}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{60°}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

∠BCD = ∠BAD = 90°

∠ADC = ∠ABC

∠ABD = ∠ACD

△ABDにおいて、正弦定理より、$\frac{AD}{\sin{ABD}} = 2R$

円周角の定理より、∠ABC = ∠ADC

△ACDにおいて、正弦定理より、$\frac{AD}{\sin{ACD}} = 2R$

∠ACD = ∠ABD

∠CAD = 30°、∠ADC = ∠ABC

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 60° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 120°

△ACDにおいて、∠CAD + ∠ADC + ∠ACD = 180°

30° + ∠ABC + ∠ACD = 180°

∠ABC + ∠ACD = 150°

∠ACD - ∠ACB = 30°

(120° - ∠ACB) + ∠ACD = 150°

∠ACD - ∠ACB = 30°

∠ABD = ∠ACD, ∠BAC = 60, ∠CAD = 30

四角形ABCDは円に内接するので、∠BCD=180-∠BAD=180-90=90°

△ACDにおいて、正弦定理より

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = 2R$

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$\frac{AD}{\sin(150 - \angle ABC)}= \frac{14}{\sqrt{3}}$

$\angle ABD = \angle ACD$であり、$\angle CAD=30$より、

$\angle ADB=180-\angle ACB-\angle CAD=150-\angle ACB$

$\frac{AD}{\sin\angle ABD}=2R$

△ACDで正弦定理

$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=\frac{AC}{\sin \angle ADC}=\frac{CD}{\sin \angle CAD}$

$\angle ADC = \angle ABC$

$\angle CAD = 30$

$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=\frac{8}{\sin \angle ABC}=\frac{CD}{\sin 30}$

$AD=5\sqrt{3}$とすると、$\frac{5\sqrt{3}}{\sin \angle ACD}=\frac{8}{\sin \angle ABC}$

$AD = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$AE = \frac{40}{13}$

3. 最終的な答え

∠A = 60°

BC = 7

AD = $\frac{15\sqrt{3}}{4}$

AE = $\frac{40}{13}$