袋の中に赤玉1個、白玉1個、青玉2個の計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、赤玉が出たときはその玉を袋に戻し、白玉または青玉が出たときはその玉を袋に戻さないという操作を2回行う。 (1) (i) 赤玉を2回続けて取り出す確率を求める。 (ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率を求める。 (iii) 2回目に青玉を取り出す確率を求める。 (2) 2回目に取り出す玉の色によってXの値を決める。赤玉のときX=1、白玉のときX=5、青玉のときX=3。このときXの期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉1個、白玉1個、青玉2個の計4個の玉が入っている。袋から玉を1個取り出し、赤玉が出たときはその玉を袋に戻し、白玉または青玉が出たときはその玉を袋に戻さないという操作を2回行う。

(1)

(i) 赤玉を2回続けて取り出す確率を求める。

(ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率を求める。

(iii) 2回目に青玉を取り出す確率を求める。

(2) 2回目に取り出す玉の色によってXの値を決める。赤玉のときX=1、白玉のときX=5、青玉のときX=3。このときXの期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。赤玉を取り出した場合、袋の中身は変わらないので、2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。したがって、赤玉を2回続けて取り出す確率は、

$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

(ii) 白玉と青玉を1回ずつ取り出す場合、1回目に白玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す場合と、1回目に青玉を取り出し、2回目に白玉を取り出す場合の2通りがある。

- 1回目に白玉を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。白玉を取り出した場合、袋の中には赤玉1個、青玉2個が残る。2回目に青玉を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。したがって、この場合の確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。

- 1回目に青玉を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。青玉を取り出した場合、袋の中には赤玉1個、白玉1個、青玉1個が残る。2回目に白玉を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。したがって、この場合の確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。

よって、白玉と青玉を1回ずつ取り出す確率は、 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(iii) 2回目に青玉を取り出す確率は、

- 1回目に赤玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す場合：$\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

- 1回目に白玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す場合：$\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

- 1回目に青玉を取り出し、2回目に青玉を取り出す場合：$\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

したがって、2回目に青玉を取り出す確率は、$\frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+4+4}{24} = \frac{11}{24}$

(2)

Xの期待値は、

$E[X] = 1 \times P(X=1) + 5 \times P(X=5) + 3 \times P(X=3)$

ここで、$P(X=1)$は2回目に赤玉を取り出す確率、$P(X=5)$は2回目に白玉を取り出す確率、$P(X=3)$は2回目に青玉を取り出す確率である。

2回目に青玉を取り出す確率は(1)(iii)で求めたように $\frac{11}{24}$ である。

2回目に白玉を取り出す確率は、

- 1回目に赤玉を取り出し、2回目に白玉を取り出す場合：$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

- 1回目に白玉を取り出し、2回目に白玉を取り出す場合：0 （1回目に白玉が出たら戻さないため）

- 1回目に青玉を取り出し、2回目に白玉を取り出す場合：$\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

したがって、2回目に白玉を取り出す確率は、$\frac{1}{16} + \frac{1}{6} = \frac{3+8}{48} = \frac{11}{48}$

2回目に赤玉を取り出す確率は、

- 1回目に赤玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合：$\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$

- 1回目に白玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合：$\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

- 1回目に青玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合：$\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

したがって、2回目に赤玉を取り出す確率は、$\frac{1}{16} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{3+4+8}{48} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$

確認のため、$\frac{11}{24} + \frac{11}{48} + \frac{15}{48} = \frac{22+11+15}{48} = \frac{48}{48} = 1$

$E[X] = 1 \times \frac{5}{16} + 5 \times \frac{11}{48} + 3 \times \frac{11}{24} = \frac{15}{48} + \frac{55}{48} + \frac{66}{48} = \frac{136}{48} = \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

(1)(i) $\frac{1}{16}$

(1)(ii) $\frac{1}{3}$

(1)(iii) $\frac{11}{24}$

(2) $\frac{17}{6}$