円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、$PA = 3$, $AB = 9$である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。 (1) $PT$の長さを求める。 (2) 線分BT上に点Cを$\angle BPC = \angle TPC$となるようにとる。 $\frac{TC}{CB}$の値を求める。 線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。 $\frac{TE}{EP}$の値を求め、四角形CDETの面積が$\triangle PBT$の面積の何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

円Kの外部の点Pを通る直線が円Kと2点A, Bで交わり、$PA = 3$, $AB = 9$である。点Pから円Kに接線を引き、その接点をTとする。

(1) $PT$の長さを求める。

(2) 線分BT上に点Cを$\angle BPC = \angle TPC$となるようにとる。

$\frac{TC}{CB}$の値を求める。

線分PC, ATの交点をDとし、直線PT, BDの交点をEとする。

$\frac{TE}{EP}$の値を求め、四角形CDETの面積が$\triangle PBT$の面積の何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PB = 3 \cdot (3+9) = 3 \cdot 12 = 36$。

よって、$PT = \sqrt{36} = 6$。

(2) $\angle BPC = \angle TPC$より、PCは$\angle BPT$の二等分線である。

角の二等分線の性質より、$TC:CB = PT:PB = 6:12 = 1:2$。

よって、$\frac{TC}{CB} = \frac{1}{2}$。

$\triangle PTE \sim \triangle BTE$となるようにEをとるので、

メネラウスの定理より、

$\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BC}{CT} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$。

$\frac{3}{9} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{TE}{EP} = 1$

$\frac{TE}{EP} = \frac{3}{2}$

$\triangle PAB \sim \triangle PTA$であるから、$\angle PAB = \angle PTA$。

$\angle TPC = \angle BPC$であるから、PCは$\angle BPT$の二等分線である。

また、$\frac{TC}{CB} = \frac{1}{2}$であるから、$BT:TC = 3:1$

$\angle APT = \angle TBA$

$\frac{PT}{PB}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$BT/TB = PA/AB$となるから、BT//PAとなる。

$\frac{CD}{DP} = \frac{AT}{AP} * \frac{CP}{CD}$.

$\triangle DPT \sim \triangle DCA$.

$TE:EP = \frac{CD}{DP} \cdot \frac{BT}{CT}$

$\triangle DET \sim \triangle BEP$.

よって、四角形CDETの面積は $\triangle PBT$の面積の$\frac{3}{16}$倍。

3. 最終的な答え

(1) $PT = 6$

(2) $\frac{TC}{CB} = \frac{1}{2}$

$\frac{TE}{EP} = \frac{3}{2}$

四角形CDETの面積は$\triangle PBT$の面積の$\frac{3}{16}$倍