級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+\cdots+n}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+\cdots+n}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の $1+2+\cdots+n$ を計算します。これは初項1、末項n、項数nの等差数列の和なので、$\frac{n(n+1)}{2}$ となります。

したがって、級数は $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}$ と書き換えられます。

次に、$\frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$ とおくと、

$1 = A(n+1) + Bn$ となります。

$n=0$ を代入すると、$1 = A(0+1) + B(0)$ より、$A=1$。

$n=-1$ を代入すると、$1 = A(-1+1) + B(-1)$ より、$B=-1$。

よって、$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ となります。

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ となります。

ここで、部分和 $S_N = 2\sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ を考えると、

$S_N = 2[(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1})]$

$= 2[1 - \frac{1}{N+1}]$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} 2[1 - \frac{1}{N+1}] = 2(1-0) = 2$

3. 最終的な答え

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