級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+\cdots+n}$ の和を求める。

1. 問題の内容

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+\cdots+n}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、分母の $1+2+\cdots+n$ を計算します。これは等差数列の和なので、

$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$

となります。したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+2+\cdots+n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}$

となります。

次に、$\frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$

とおくと、

$1 = A(n+1) + Bn$

となります。$n=0$ のとき、$1 = A(0+1) + B(0)$ より、$A=1$ となります。$n=-1$ のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1)$ より、$B=-1$ となります。したがって、

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

となります。

これより、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

となります。この級数は望遠鏡級数なので、部分和を考えると、

$S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}$

となります。

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \frac{1}{N+1}\right) = 1$

となります。

よって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 2 \cdot 1 = 2$

となります。

3. 最終的な答え

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