座標平面上に点O, A(4, 0), B(4, 4), C(0, 4), M(2, 0), N(2, 4)がある。点P(t, 0)は、長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Q(t+4, -2), R(t+4, b+2)がある。正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。ただし、0 ≤ t ≤ 8とする。 設問は、 (1) t = 0のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、S(0)の値、S(1)の値を求める。 (2) S(t)を0 ≤ t ≤ 3の場合で場合分けして求める。 (3) 0 ≤ t ≤ 3において、S(t)の最小値を求める。あるtの範囲において、S(t)が一定となることを示し、その値を求める。 (4) S(t) = k (kは定数)となる異なるtの値が4個だけ存在するための条件を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

座標平面上に点O, A(4, 0), B(4, 4), C(0, 4), M(2, 0), N(2, 4)がある。点P(t, 0)は、長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Q(t+4, -2), R(t+4, b+2)がある。正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。ただし、0 ≤ t ≤ 8とする。

設問は、

(1) t = 0のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、S(0)の値、S(1)の値を求める。

(2) S(t)を0 ≤ t ≤ 3の場合で場合分けして求める。

(3) 0 ≤ t ≤ 3において、S(t)の最小値を求める。あるtの範囲において、S(t)が一定となることを示し、その値を求める。

(4) S(t) = k (kは定数)となる異なるtの値が4個だけ存在するための条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

t = 0のとき、R(4, 2)なので、Rは正方形OABCの内部にある。したがって、アは①。

S(0) = 0なので、イ = 0。

t = 1のとき、P(1, 0), Q(5, -2), R(5, 2)。三角形PQRの面積は、底辺PR = 4, 高さ = 4なので、4 * 4 / 2 = 8。正方形OABCとの共通部分は三角形MARで、底辺AM = 2, 高さ = 2なので、2 * 2 / 2 = 2となる。S(1) = 2。

したがって、ウ = 2、エ = 1。

(2)

0 ≤ t ≤ 2のとき、P(t, 0)。

PQRの頂点座標は、P(t, 0), Q(t+4, -2), R(t+4, 2)。

正方形OABCとの共通部分は、底辺AM = 4 - t、高さ2の三角形MAR。

S(t) = (4 - t) * 2 / 2 = 4 - t

2 ≤ t ≤ 3のとき、P(2, t-2)。

PQRの頂点座標は、P(2, t-2), Q(t+4, -2), R(t+4, 2)。

線分PQの方程式は、$y = \frac{-2-(t-2)}{t+4-2}(x-t)$。

したがって、$y = -\frac{t}{t+2}(x-t)$

x = 4におけるy座標は、$y = -\frac{t}{t+2}(4-t) = \frac{t^2-4t}{t+2}$

S(t) = $\frac{1}{2} \times 4 \times (2 - \frac{t^2-4t}{t+2})$

=$4 - \frac{t^2-4t}{t+2} = \frac{4t + 8 - t^2 + 4t}{t+2} = \frac{-t^2 + 8t + 8}{t+2}$

0 ≤ t ≤ 2のとき、S(t) = 4 - t

2 ≤ t ≤ 3のとき、S(t) = $\frac{-t^2 + 8t + 8}{t+2}$

(3)

0 ≤ t ≤ 2のとき、S(t) = 4 - t。S(t)は減少関数なので、t = 2のとき最小値S(2) = 2をとる。

2 ≤ t ≤ 3のとき、S(t) = $\frac{-t^2 + 8t + 8}{t+2}$。S'(t) = $\frac{(-2t+8)(t+2) - (-t^2+8t+8)}{(t+2)^2}$ = $\frac{-2t^2 - 4t + 8t + 16 + t^2 - 8t - 8}{(t+2)^2} = \frac{-t^2 - 4t + 8}{(t+2)^2}$

S'(t) = 0となるのは、$-t^2 - 4t + 8 = 0$のとき。$t^2 + 4t - 8 = 0$。

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 + 8} = -2 \pm 2\sqrt{3}$。

2 ≤ t ≤ 3の範囲では、t = $-2 + 2\sqrt{3} \approx 1.464$ は範囲外なので、S(3) = $\frac{-9 + 24 + 8}{5} = \frac{23}{5} = 4.6$。

したがって、S(t)はt=2で最小値2をとる。

ス = 2のとき、S(t)は一定で、セ = 2。

(4)

(4)

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 0

ウ/エ: 2/1

オ: 2

カ: 4

キ: 1

ク: t

ケ: 5

コ: 1

サ: 2

シ: 2

ス: 2

セ: 2

ソ:

タ:

チ:

ツ:

テト: