与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + x - y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 4xy + 3y^2 + x - y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + (4y + 1)x + (3y^2 - y - 2)$

次に、$3y^2 - y - 2$ を因数分解します。

$3y^2 - y - 2 = (3y + 2)(y - 1)$

次に、与えられた式が $(x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定します。

すると、

$ac = 3$

$a + c = 4$

$bd = -2$

$ad + bc = -1$

$b + d = 1$

$x^2 + (4y + 1)x + (3y^2 - y - 2) = (x + ay + b)(x + cy + d)$ となるように $a, b, c, d$ を決定します。

$a = 3$ と $c = 1$ とします。

$3y^2 - y - 2 = (3y + 2)(y - 1)$ なので、$b$ と $d$ は $2$ と $-1$ か、$-2$ と $1$ です。

$a = 3$, $c = 1$, $b = -1$, $d = 2$ とすると、

$(x + 3y - 1)(x + y + 2) = x^2 + xy + 2x + 3xy + 3y^2 + 6y - x - y - 2 = x^2 + 4xy + 3y^2 + x + 5y - 2$

$a = 3$, $c = 1$, $b = 2$, $d = -1$ とすると、

$(x + 3y + 2)(x + y - 1) = x^2 + xy - x + 3xy + 3y^2 - 3y + 2x + 2y - 2 = x^2 + 4xy + 3y^2 + x - y - 2$

よって、$x^2 + 4xy + 3y^2 + x - y - 2 = (x + 3y + 2)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

$(x + 3y + 2)(x + y - 1)$