座標平面上に点O, A(4,0), B(4,4), C(0,4), M(2,0), N(2,4)がある。動点P(a,b), Q(a+4, b-2), R(a+4, b+2) があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。0 ≤ t ≤ 8とする。 (1) t=0のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、またS(0)の値を求める。さらに、S(1)の値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点O, A(4,0), B(4,4), C(0,4), M(2,0), N(2,4)がある。動点P(a,b), Q(a+4, b-2), R(a+4, b+2) があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。0 ≤ t ≤ 8とする。

(1) t=0のとき、点Rが正方形OABCのどこにあるか、またS(0)の値を求める。さらに、S(1)の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) t=0のとき、点Pは原点O(0,0)にある。

このとき、点Rの座標は (0+4, 0+2) = (4,2) である。

点R(4,2) は正方形OABCの周上、つまりx=4, y=4の線より内側にある。

したがって、点Rは正方形OABCの内部にある。

アの答えは1。

t=0のとき、P(0,0), Q(4,-2), R(4,2)。

三角形PQRの面積を計算する。

底辺をQRとすると、QR = 2-(-2) = 4。

高さはPから直線QRまでの距離であり、それは4である。

したがって、三角形PQRの面積は (1/2) * 4 * 4 = 8。

正方形OABCの面積は 4*4=16。

三角形PQRと正方形OABCの共通部分は、点A(4,0), M(2,0), R(4,2)を結んだ三角形AMRであり、その面積は (1/2) * 2 * 2 = 2。

よって、S(0) = 2。

イの答えは2。

t=1のとき、点PはOからMまで1秒かけて進むので、点Pの座標は(1,0)。

このとき、点Qの座標は(1+4, 0-2) = (5,-2)、点Rの座標は(1+4, 0+2) = (5,2)。

三角形PQRと正方形OABCの共通部分の面積S(1)を考える。

点P(1,0), Q(5,-2), R(5,2)

y=0の線と線分PRの交点を考える。

直線PRの方程式は、y=ax+bとおくと、R(5,2)を通るので、2 = 5a+b。P(1,0)を通るので、0=a+b。よって、4a=2より、a=1/2。b=-1/2。直線PRの方程式は、y=(1/2)x-1/2。

y=0とすると、x=1。

y=4の線と線分PRの交点を考えると、4 = (1/2)x-1/2より、x=9。正方形の外である。

x=4の線と線分QRの交点を考えると、y=(1/2)*4-1/2=3/2。線分QRと正方形OABCの交点は、点(4,3/2)。

x=4の線と線分PRの交点を考えると、y=(1/2)*4-1/2=3/2。線分PRと正方形OABCの交点は、点(4,3/2)。

正方形OABCと三角形PQRの共通部分は、四角形APRS' （S'は線分QRとx=4の交点）。ここでS'(4,3/2)。

四角形APRS'の面積 = 三角形ARPの面積 - 三角形RSS'の面積

点R(5,2), A(4,0), P(1,0)より、ARP = (1/2) * 1 * 2 = 1

三角形RSS'の面積 = (1/2) * 1 * (2-3/2) = (1/2) * 1 * (1/2) = 1/4。

S(1) = 1 - 1/4 = 3/4。

ウ = 3, エ = 4。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 3

エ: 4

S(1) = 3/4