原点をOとする座標平面上に点A(0,4), B(4,4), C(4,0), M(2,0), N(2,4)がある。点P(t,0), Q(4,t), R(t+4,t+2)があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に、毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OARCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。ただし、0≤t≤8である。 (1) t=0のとき、点Pは正方形OARCのどこにあり、S(0)はいくらか。 (2) S(1)はいくらか。 (3) 0≤t≤3において、S(t)はt=いくらのとき最小値はいくらか。 (4) 2≤t≤4のとき、S(t)の値は一定で、S(t)はいくらか。 (5) S(t)=k（kは定数）となるような異なるtの値が4個だけ存在する条件は何か。このとき、4個のtの値の和はいくらか。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に点A(0,4), B(4,4), C(4,0), M(2,0), N(2,4)がある。点P(t,0), Q(4,t), R(t+4,t+2)があり、点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に、毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OARCと三角形PQRの共通部分の面積をS(t)とする。ただし、0≤t≤8である。

(1) t=0のとき、点Pは正方形OARCのどこにあり、S(0)はいくらか。

(2) S(1)はいくらか。

(3) 0≤t≤3において、S(t)はt=いくらのとき最小値はいくらか。

(4) 2≤t≤4のとき、S(t)の値は一定で、S(t)はいくらか。

(5) S(t)=k（kは定数）となるような異なるtの値が4個だけ存在する条件は何か。このとき、4個のtの値の和はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) t=0 のとき、点Pは原点Oにあるので、正方形OARCの外部にある。S(0)は共通部分の面積なので、0となる。

(2) t=1 のとき、点PはOからMに向かって1移動した点(1,0)にある。正方形OARCと三角形PQRの共通部分は、底辺がAR上の線分で長さが1,高さが1の三角形となるので、その面積は1/2となる。

(3) 0≤t≤2のとき、点Pは線分OM上にあるので、P(t,0), Q(4,t), R(t+4, t+2)となる。このとき、三角形PQRの底辺はPQで高さは点Rから直線PQへの距離で、共通部分の面積S(t)は増加する。2≤t≤3のとき、点Pは線分MN上にあるので、P(2, t-2), Q(4,t), R(t+4, t+2)となる。このとき、三角形PQRの底辺はPQで高さは点Rから直線PQへの距離で、共通部分の面積S(t)は減少する。

S(t) = S(0) + ∫(0,t)f(t)dt

S(t) = (1/2)*(4-t)(4-t)

S'(t) = 0となるのは、t=3のとき。S(3)=2

(4) 2≤t≤4のとき、Pは線分MN上をNからCに移動する。三角形PQRの面積は一定となる。よってS(t)は定数である。S(t)=2

(5) S(t)=k（kは定数）となる異なるtの値が4個だけ存在する条件は、

2 < k < 10。このとき、4個のtの値の和は10となる。

3. 最終的な答え

(1) ア: 外部, イ: 0

(2) ウ: 1/2

(3) サ: 3, シ: 2

(4) セ: 2

(5) 2 < k < 10, テト: 10