自然数 $n$ に対して、$S_n = 5^n - 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとき、$a_1$、$n \ge 2$ のときの $a_n$ 、および$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

はい、承知いたしました。問題文と画像から、数列の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$S_n = 5^n - 1$ とする。数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとき、$a_1$、$n \ge 2$ のときの $a_n$ 、および$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) $a_1$ を求める。

$S_n$ は数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和なので、$a_1 = S_1$ である。

$S_1 = 5^1 - 1 = 5 - 1 = 4$

したがって、$a_1 = 4$

(ii) $n \ge 2$ のときの $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$a_n = (5^n - 1) - (5^{n-1} - 1) = 5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1}(5 - 1) = 4 \cdot 5^{n-1}$

したがって、$a_n = 4 \cdot 5^{n-1}$

(iii) 求めた $a_n$ が $n=1$ のときにも成り立つことを確認する。

$a_1 = 4 \cdot 5^{1-1} = 4 \cdot 5^0 = 4 \cdot 1 = 4$ となり、$a_1 = 4$ と一致する。

したがって、$a_n = 4 \cdot 5^{n-1}$ はすべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

(iv) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4 \cdot 5^{k-1}} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{5^{k-1}} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1}$ は初項 $1$、公比 $\frac{1}{5}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和であるから、

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{5} \right)^{k-1} = \frac{1 - (\frac{1}{5})^n}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1 - (\frac{1}{5})^n}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4} \left( 1 - \left( \frac{1}{5} \right)^n \right)$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} \left( 1 - \left( \frac{1}{5} \right)^n \right) = \frac{5}{16} \left( 1 - \left( \frac{1}{5} \right)^n \right)$

3. 最終的な答え

* ア: 4

* イ: 4

* ウ: 5

* エ: 5

* オカ: 16

* キ: $\frac{1}{5}$