2次関数 $y = 3x^2 + 6x + k + 1$ のグラフとx軸との位置関係がそれぞれ次の場合であるとき、定数 $k$ の値または $k$ の値の範囲を求めよ。 (1) 接する (2) 異なる2点で交わる (3) 共有点をもたない

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 + 6x + k + 1$ のグラフとx軸との位置関係がそれぞれ次の場合であるとき、定数 $k$ の値または $k$ の値の範囲を求めよ。

(1) 接する

(2) 異なる2点で交わる

(3) 共有点をもたない

2. 解き方の手順

2次方程式 $3x^2 + 6x + k + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac$ であるから、

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k + 1) = 36 - 12(k + 1) = 36 - 12k - 12 = 24 - 12k$

(1) 接する場合、$D = 0$ であるから、

$24 - 12k = 0$

$12k = 24$

$k = 2$

(2) 異なる2点で交わる場合、$D > 0$ であるから、

$24 - 12k > 0$

$12k < 24$

$k < 2$

(3) 共有点をもたない場合、$D < 0$ であるから、

$24 - 12k < 0$

$12k > 24$

$k > 2$

3. 最終的な答え

(1) $k = 2$

(2) $k < 2$

(3) $k > 2$