次の2つの2次不等式を解く問題です。 (1) $x^2 - 4x + 1 \geq 0$ (2) $x^2 + 3x + 1 < 0$

1. 問題の内容

次の2つの2次不等式を解く問題です。

(1) $x^2 - 4x + 1 \geq 0$

(2) $x^2 + 3x + 1 < 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 1 \geq 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x = 2 + \sqrt{3}$ と $x = 2 - \sqrt{3}$ が解です。

$x^2 - 4x + 1 \geq 0$ を満たす $x$ の範囲は、$x \leq 2 - \sqrt{3}$ または $x \geq 2 + \sqrt{3}$ です。

(2) $x^2 + 3x + 1 < 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $x^2 + 3x + 1 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ が解です。

$x^2 + 3x + 1 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$\frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x \leq 2 - \sqrt{3}$, $x \geq 2 + \sqrt{3}$

(2) $\frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$