直角を挟む2辺の長さの和が12cmである直角三角形において、その面積が最大となるのは、2辺の長さがそれぞれ何cmのときか、またそのときの直角三角形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が12cmである直角三角形において、その面積が最大となるのは、2辺の長さがそれぞれ何cmのときか、またそのときの直角三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$ cm, $y$ cmとします。

条件より、$x+y=12$ が成り立ちます。

直角三角形の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2}xy$ となります。

$y=12-x$ を $S$ に代入すると、

$S = \frac{1}{2}x(12-x) = \frac{1}{2}(12x-x^2) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x$ となります。

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成します。

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 12x) = -\frac{1}{2}((x-6)^2 - 36) = -\frac{1}{2}(x-6)^2 + 18$

$0 < x < 12$ であるので、$x=6$ のとき $S$ は最大値18をとります。

$x=6$ のとき、$y=12-x=12-6=6$ となります。

したがって、2辺の長さがそれぞれ6cmのとき、面積は最大となります。

そのときの面積は18平方センチメートルです。

3. 最終的な答え

2辺の長さがそれぞれ6cmのとき、面積が最大になります。

そのときの面積は18平方センチメートルです。