座標平面上に長方形OMNCと3つの動点P, Q, Rがある。点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積をS(t)とする。問題は、S(t)に関するいくつかの値を求めたり、S(t)が定数となる条件を求めるものである。

1. 問題の内容

座標平面上に長方形OMNCと3つの動点P, Q, Rがある。点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積をS(t)とする。問題は、S(t)に関するいくつかの値を求めたり、S(t)が定数となる条件を求めるものである。

2. 解き方の手順

(1)

t=0のとき、PはO(0,0)にある。Rは(2+4, 0+2) = (6, 2)にある。

点R(6, 2)は正方形OABCの内部にある。

S(0)は、t=0のとき、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積である。P(0,0)、Q(4,6)、R(6,2)なので、三角形PQRはx軸よりも上にある。正方形の頂点(0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)であり、yの値が小さい方から考える。三角形PQRは原点とx軸との交点を持つので、S(0)=0となる。

(2)

0≤t≤4のとき、PはOM上を動く。P(t, 0)。

4<t≤8のとき、PはMN上を動く。P(4, t-4)。

S(0) - S(1) = 0 - S(1) = -S(1)

まず、0≤t≤4のときを考える。P(t,0), Q(t+4,5t/2), R(t+4, t+2)となる。点Q,Rはともに正方形OABCの外にある。

共通部分の面積は0であるから、S(t)=0となる。

したがって0<t≤4のとき、S(0)-S(t) = 0 - 0 = 0。

よって、オ = 4、カ = 0である。

4<t≤8のときを考える。P(4, t-4)。Q(t+4, 5t/2), R(t+4, t+2)となる。このときもQ, Rはともに正方形OABCの外にある。

共通部分の面積は0であるから、S(t)=0となる。

したがって4<t≤8のとき、S(0)-S(t) = 0 - 0 = 0。

よって、S(t) = 0。よってキ=0、ク=0、ケ=0、コ=0である。

(3)

0 ≤ t ≤ 8において、S(t)は常に0である。

S(t) = 0になるtの値が最小となるのは存在しない。

(4)

S(t) - tが定数となるような異なるtの値が4個だけ存在する条件を考える。

S(t)が定数となるのは、0 ≤ t ≤ 4と4 < t ≤ 8のときで、S(t) = 0。

S(t)-t = -t となるので、定数とはならない。

したがって、条件を満たすような条件は存在しない。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 内部

イ: 0

(2)

ウ: 0

エ: 0

オ: 4

カ: 0

キ: 0

ク: 0

ケ: 0

コ: 0

(3)

シ: 存在しない

(4)

ス: 存在しない

セ: 存在しない

ソ: 0

タ: ③

チ: ③

テ: ③

ト: ③