座標平面上に長方形OMNCと3つの動点P, Q, Rがある。点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積をS(t)とする。問題は、S(t)に関するいくつかの値を求めたり、S(t)が定数となる条件を求めるものである。
2025/3/20
1. 問題の内容
座標平面上に長方形OMNCと3つの動点P, Q, Rがある。点Pは長方形OMNCの周上をO→M→N→Cの順に毎秒1の速さで動く。点Pが出発してt秒後において、正方形OABCと△PQRの共通部分の面積をS(t)とする。問題は、S(t)に関するいくつかの値を求めたり、S(t)が定数となる条件を求めるものである。
2. 解き方の手順
(1)
t=0のとき、PはO(0,0)にある。Rは(2+4, 0+2) = (6, 2)にある。
点R(6, 2)は正方形OABCの内部にある。
S(0)は、t=0のとき、正方形OABCと三角形PQRの共通部分の面積である。P(0,0)、Q(4,6)、R(6,2)なので、三角形PQRはx軸よりも上にある。正方形の頂点(0,0)、(4,0)、(4,4)、(0,4)であり、yの値が小さい方から考える。三角形PQRは原点とx軸との交点を持つので、S(0)=0となる。
(2)
0≤t≤4のとき、PはOM上を動く。P(t, 0)。
4<t≤8のとき、PはMN上を動く。P(4, t-4)。
S(0) - S(1) = 0 - S(1) = -S(1)
まず、0≤t≤4のときを考える。P(t,0), Q(t+4,5t/2), R(t+4, t+2)となる。点Q,Rはともに正方形OABCの外にある。
共通部分の面積は0であるから、S(t)=0となる。
したがって0<t≤4のとき、S(0)-S(t) = 0 - 0 = 0。
よって、オ = 4、カ = 0である。
4<t≤8のときを考える。P(4, t-4)。Q(t+4, 5t/2), R(t+4, t+2)となる。このときもQ, Rはともに正方形OABCの外にある。
共通部分の面積は0であるから、S(t)=0となる。
したがって4<t≤8のとき、S(0)-S(t) = 0 - 0 = 0。
よって、S(t) = 0。よってキ=0、ク=0、ケ=0、コ=0である。
(3)
0 ≤ t ≤ 8において、S(t)は常に0である。
S(t) = 0になるtの値が最小となるのは存在しない。
(4)
S(t) - tが定数となるような異なるtの値が4個だけ存在する条件を考える。
S(t)が定数となるのは、0 ≤ t ≤ 4と4 < t ≤ 8のときで、S(t) = 0。
S(t)-t = -t となるので、定数とはならない。
したがって、条件を満たすような条件は存在しない。
3. 最終的な答え
(1)
ア: 内部
イ: 0
(2)
ウ: 0
エ: 0
オ: 4
カ: 0
キ: 0
ク: 0
ケ: 0
コ: 0
(3)
シ: 存在しない
(4)
ス: 存在しない
セ: 存在しない
ソ: 0
タ: ③
チ: ③
テ: ③
ト: ③