三角形ABCの内部の点Pが $2\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしている。直線APと辺BCの交点をDとする。 (1) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ を用いて表せ。 (2) $\frac{AP}{PD}$ を求めよ。 (3) $\triangle PAB$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pが $2\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ を満たしている。直線APと辺BCの交点をDとする。

(1) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ を用いて表せ。

(2) $\frac{AP}{PD}$ を求めよ。

(3) $\triangle PAB$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ を用いて表す。

$2\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ より、

$-2\vec{AP} + 3(\vec{AB} - \vec{AP}) + 5(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

$-2\vec{AP} + 3\vec{AB} - 3\vec{AP} + 5\vec{AC} - 5\vec{AP} = \vec{0}$

$-10\vec{AP} + 3\vec{AB} + 5\vec{AC} = \vec{0}$

$10\vec{AP} = 3\vec{AB} + 5\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{5}{10}\vec{AC} = \frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

点Dは直線AP上にあるので、$\vec{AD} = k\vec{AP}$ (kは実数) と表せる。

$\vec{AD} = k(\frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{3k}{10}\vec{AB} + \frac{k}{2}\vec{AC}$

点Dは辺BC上にあるので、$\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$ (tは実数) と表せる。

したがって、$\frac{3k}{10} = 1-t$ かつ $\frac{k}{2} = t$ が成り立つ。

$\frac{3k}{10} = 1 - \frac{k}{2}$

$\frac{3k}{10} + \frac{5k}{10} = 1$

$\frac{8k}{10} = 1$

$k = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

$\vec{AD} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{4}\vec{AB} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4}\vec{AC} = \frac{3}{8}\vec{AB} + \frac{5}{8}\vec{AC}$

(2) $\frac{AP}{PD}$ を求める。

$\vec{AP} = \frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ であり、$\vec{AD} = \frac{5}{4}\vec{AP}$ なので、$\frac{AP}{AD} = \frac{4}{5}$ となる。

したがって、$\frac{AP}{PD} = \frac{AP}{AD - AP} = \frac{AP}{AD} / (1 - \frac{AP}{AD}) = \frac{4/5}{1 - 4/5} = \frac{4/5}{1/5} = 4$

よって、$\frac{AP}{PD} = 4$

(3) $\triangle PAB$ の面積と $\triangle ABC$ の面積の比を求める。

$\vec{AP} = \frac{3}{10}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

$S_{\triangle PAB} : S_{\triangle PAC} : S_{\triangle PBC} = 5: 3 : 2$となる。

$2\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$より、$2S_{\triangle PBC} = 3S_{\triangle PAC} = 5S_{\triangle PAB}$

したがって、$S_{\triangle PAB} : S_{\triangle PAC} : S_{\triangle PBC} = \frac{1}{5} : \frac{1}{3} : \frac{1}{2} = 6:10:15$

点DはBC上にあるので、$BD:DC = 5:3$となる。

$S_{\triangle ABD} = \frac{5}{8} S_{\triangle ABC}$, $S_{\triangle ADC} = \frac{3}{8} S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle PAB} = S_{\triangle ABD} \cdot \frac{PD}{AD}$

$\frac{AP}{AD} = \frac{4}{5}$, $\frac{PD}{AD} = \frac{1}{5}$ なので

$S_{\triangle PAB} = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{5} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{8} S_{\triangle ABC}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AD} = \frac{3}{8}\vec{AB} + \frac{5}{8}\vec{AC}$

(2) $\frac{AP}{PD} = 4$

(3) $\triangle PAB : \triangle ABC = 1:8$