定積分 $\int_{0}^{\pi} |\sin x \cos x| dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} |\sin x \cos x| dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の絶対値を外すことを考えます。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ と変形できます。

$0 \le x \le \pi$ の範囲で $\sin 2x$ の符号を調べます。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、 $0 \le 2x \le \pi$ なので、$\sin 2x \ge 0$です。

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ のとき、 $\pi \le 2x \le 2\pi$ なので、$\sin 2x \le 0$です。

したがって、積分を区間を分けて計算します。

$\int_{0}^{\pi} |\sin x \cos x| dx = \int_{0}^{\pi} |\frac{1}{2} \sin 2x| dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\sin 2x) dx \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\pi/2} + \left[ \frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\pi/2}^{\pi} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) + \frac{1}{2} (\cos 2\pi - \cos \pi) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) + \frac{1}{2} (1 - (-1)) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} (-2) + \frac{1}{2} (2) \right)$

$= \frac{1}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2} (2) = 1$

3. 最終的な答え

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