関数 $f(x) = xe^x$ をマクローリン展開によって $x$ の3次式で近似せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^x$ をマクローリン展開によって $x$ の3次式で近似せよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。すなわち、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$f(x) = xe^x$ に対して、3次式で近似するためには、3階微分まで計算する必要があります。

まず、$f(x) = xe^x$ より、

$f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$

次に、1階微分 $f'(x)$ を計算します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ より、

$f'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

$f'(0) = (1+0)e^0 = 1$

次に、2階微分 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = (1+x)'e^x + (1+x)(e^x)' = e^x + (1+x)e^x = (2+x)e^x$

$f''(0) = (2+0)e^0 = 2$

次に、3階微分 $f'''(x)$ を計算します。

$f'''(x) = (2+x)'e^x + (2+x)(e^x)' = e^x + (2+x)e^x = (3+x)e^x$

$f'''(0) = (3+0)e^0 = 3$

したがって、マクローリン展開の3次近似は、

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 = 0 + 1 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + \frac{3}{6}x^3 = x + x^2 + \frac{1}{2}x^3$

3. 最終的な答え

$x + x^2 + \frac{1}{2}x^3$