関数 $f(x) = \cos x$ をマクローリン展開によって近似せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos x$ をマクローリン展開によって近似せよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を $x=0$ の周りでべき級数で展開する方法です。

マクローリン展開の公式は次の通りです。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

ここで、$f(x) = \cos x$ なので、各階微分を計算し、$x=0$ での値を求めます。

* $f(x) = \cos x$ , $f(0) = \cos 0 = 1$

* $f'(x) = -\sin x$ , $f'(0) = -\sin 0 = 0$

* $f''(x) = -\cos x$ , $f''(0) = -\cos 0 = -1$

* $f'''(x) = \sin x$ , $f'''(0) = \sin 0 = 0$

* $f''''(x) = \cos x$ , $f''''(0) = \cos 0 = 1$

これをマクローリン展開の公式に代入すると、

$f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots$

$f(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

3. 最終的な答え

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$