問題は、以下の2つの極限を求めることです。 (1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの極限を求めることです。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

これは等比数列の和の極限です。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}$ であり、ここで $a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の数です。この問題では、$a=1$, $r=\frac{1}{2}$ なので、

$S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = \frac{1(1-(\frac{1}{2})^{n+1})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{\frac{1}{2}} = 2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{1}{2})^{n+1} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = 2(1-0) = 2$

(2) の場合：

これも等比数列の和の極限です。問題は$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k}$ です。

$a=9$, $r=\frac{1}{10}$ なので、等比数列の和の公式を用いると

$S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k} = \frac{9(1-(\frac{1}{10})^{n+1})}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9(1-(\frac{1}{10})^{n+1})}{\frac{9}{10}} = 10(1-(\frac{1}{10})^{n+1})$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} 10(1-(\frac{1}{10})^{n+1})$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{1}{10})^{n+1} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = 10(1-0) = 10$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} = 2$

(2) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{9}{10^k} = 10$